Il post precedente sulla macchina differenziale, lascia effettivamente dubbi sull'effettivo funzionamento della macchina differenziale. Mi sono messo alla ricerca di qualcosa di interessante ed ho trovato la semplice spiegazione dello stesso Babbage.
Immaginiamo di disporre delle biglie in fila:
Collochiamo poi altre due biglie sotto ad ogni biglia partendo dalla seconda
Poi tre biglie sotto ad ogni mucchietto partendo dal terzo ...... e così via 

Alla fine si ottengono dei mucchietti triangolari, ciascuno dei quali ha un numero uguale di biglie su ognuno dei tre lati. Si nota anche che, ad ogni triangolo successivo, la lunghezza del lato aumenta di una biglia.
Osserviamo la linea dei numeri per trovarvi la disposizione dei TRIANGOLARI:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
|+1 | +2 | +3 | +4 | +5 |
REGOLA: i numeri triangolari sono ottenuti dalla somma dei successivi numeri naturali
A questo punto potremmo chiederci se sia possibile calcolare quante biglie troveremmo ad esempio nel ventesimo mucchietto (senza sommare tutti i numeri da 1 a 20) . Per capirlo possiamo rappresentare la situazione in una tabella:
|
Ordine dei
mucchietti
DIFFERENZE PRIME
|
Numero palline
nel mucchietto |
DIFFERENZE
SECONDE |
1
2
3
4
5
6 |
1
3
6
10
15
21 |
1
1
1
1
1
1 |
La differenza prima si calcola togliendo ad un mucchio il numero delle biglie del mucchio precedente:
nell' esempio 10 - 6 = 4 (e corrisponde al numero d' ordine del mucchietto)
La differenza seconda togliendo dalla differenza prima di un mucchietto quella del mucchietto precedente:
nell' esempio 4 - 3 = 1 (si noti che le differenze seconde sono tutte uguali ad uno)
Da questo possiamo ricavare la regola generale che permette di calcolare il numero di biglie di un mucchietto qualsiasi:
Per calcolare ad esempio il numero di biglie del quarto mucchietto (quello preso finora ad esempio) basta:
1) prendere il suo numero d' ordine: 4
2) aggiungervi 1
4 + 1 = 5
3) moltiplicarli tra di loro 4 x 5 = 20
4) dividere il risultato per due 20 : 2 = 10 ( che è il numero cercato)
Se ne ricava la seguente equazione: X= N . (N + 1) : 2
Per vedere se la regola è valida, proviamo a calcolare quante biglie ci sono nel
ventesimo mucchietto:
20 x (20 + 1) : 2 = 210
|
Si comprende come, per il calcolo dei numeri triangolari, il procedimento sia sempre lo stesso e cambino solamente i numeri di partenza.
La risoluzione di questa equazione (parliamo della equazione per il calcolo dei numeri triangolari, presa come esempio, ma il principio è valido per tutte le equazioni) necessita di eseguire una moltiplicazione e una divisione, cosa che Babbage voleva evitare.
Utilizzando il metodo delle differenze è invece possibile calcolare una tabella per i numeri triangolari (e per qualsiasi altra equazione) servendosi della sola addizione e ricordando i risultati precedenti (la sua macchina in effetti eseguiva solo addizioni e ricordava i risultati di ogni operazione per riutilizzarli nella successiva); ricordiaamo che a Babbage interessava il calcolo di tabelle e non un singolo risultato.
Ecco come procedeva il calcolo:
| numero triangolare: |
|
1 |
|
3 |
|
6 |
|
10 |
|
15 |
| differenze prime: |
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
5 |
|
| differenze seconde: |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
1) Dalle differenze seconde (che sono costanti) si calcolano le differenze prime:
1+1=2 +1=3 +1=4 +1=5 ....
2) Dalle differenze prime si calcola il valore della funzione:
1+2=3 +3 =6 +4=10 +5=15 ....
Risulta facile calcolare i numeri triangolari, col metodo delle differenze, usando una normale calcolatrice tascabile e risulta altrettanto facile costruire un programma in BASIC o in LOGO per svolgere la stessa funzione:
SI NOTI CHE IN TUTTI I CASI VIENE USATA SOLO L' ADDIZIONE.
Se non hai una calcolatrice a portata di mano usa questa 
| CALCOLATRICE |
| TASTI |
VISORE |
1
+
2
+
3
+
4
+
5
+
6
+ |
1
1
2
3
3
6
4
10
5
15
6
21 |
|
|
|
BASIC
|
10 N = 0 : X = 0
20 X = X + 1
30 N = N + X
40 PRINT N
50 GOTO 20 |
|
|
LOGO
|
PER TRIANG
AS "N 0
AS "X 0
RIPETI |
PER RIPETI
AS "X :X + 1
AS "N :X + :N
STAMPA :N
RIPETI |
|
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da http://www.ulisse.bs.it/museo/storia/babbage/differenze.htm